ЛЕКЦІЯ №5 Вісімкова  система обчислення. Шістнадцяткова система обчислення.

План лекції:

1 Вісімкова система числення

2 Шістнадцткова система числення

3 Правила перекладу чисел у 8-ій та 16-ій С.Ч.

4  Арифметичні операції з вісімковими   кодами

5 Арифметичні операції з  шістнадцятковими кодами

1 Вісімкова система числення

Вісімкова система має підставу 8, тобто 23. Це додає системі компактність запису, тобто дає можливість кодувати трьохрозрядного двійкові коди. У даній системі використовують наступні цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

 

2 Шістнадцткова система числення

Шістнадцяткова система має підставу 16, тобто 24. Шістнадцяткова система ще більш компактна, тобто дає можливість кодувати чотирирозрядні двійкові коди. У даній системі використовують наступні цифри і літери: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

 

Двійкові еквіваленти найбільш важливих систем числення

Двійникова

(основание 2)

Вісімкова (основание 8) Десяткова

(основание 10)

Шістнадцяткова

(основание 16)

0 0 000 0 0000 0 0000
1 1 001 1 0001 1 0001
  2 010 2 0010 2 0010
  3 011 3 0011 3 0011
  4 100 4 0100 4 0100
  5 101 5 0101 5 0101
  6 110 6 0110 6 0110
  7 111 7 0111 7 0111
      8 1000 8 1000
      9 1001 9 1001
          A 1010
          B 1011
          C 1100
          D 1101
          E 1110
          F 1111

 

3 Правила перекладу чисел у 8-ій та 16-ій С.Ч.

  1. Розглянемо переклад з будь-якої системи числення (з будь-яким цілим числом в підставі) в десяткову. Для цього шукане число, наприклад, 123 потрібно записати за формулою запису числа, прийнятої у вихідній системі числення. Візьмемо для прикладу вісімкову систему. Виходячи з назви, підставою є цифра 8, це означає, що кожен розряд числа є ступенем підстави за зменшенням, в даному випадку це друга, перша і нульова ступінь (8 в нульової ступеня = 1). Числі 123 записується наступним чином: 1*8*8+2*8+3*1. Перемножте цифри і отримав 64+16 +3, у результаті — 83. Це число і буде поданням шуканого числа в десятковій системі числення.
  2. Для шістнадцятковій системи розрахунок складніше. У ній окрім цифр у поданні беруть участь букви латинського алфавіту, тобто повний розряд складає цифри від 0 до 9 і букви від A до F. Наприклад, число 6B6 за формулою запису числа буде виглядати так: 6*16*16+11*16 +6*1, де В = 11. Перемножте цифри і отримаєте 1536 +176 +6, у результаті — 1718. Це — те ж число в десятковій системі числення.
  3. Переклад з десяткової системи в вісімкову і шістнадцяткову проводиться шляхом послідовного розподілу на підставу (8 і 16) до тих пір, поки не залишиться число менше дільника. Залишки виписуються в зворотному порядку.
  4. Переведемо число 123 з десяткової системи в вісімкову, залишки також пишуться в зворотному порядку. Ділите 123 на 8, виходить 15 і 3 в залишку, пишіть 3. Ділите 15 на 8, виходить 1 і 7 в залишку, пишіть 7. У старшому розряді пишіть залишилася 1. Підсумкове число — 173.
  5. Переведемо число 123 з десяткової системи в шістнадцяткову. Ділите 123 на 16, виходить 7, 11 у залишку. Отже, цифра старшого розряду — 7, цифра 11 менше підстави і позначається буквою B. Отримуємо підсумкове число — 7B.
  6. Для перекладу з двійкової системи в вісімкову або шістнадцяткову потрібно розбити вихідне число на четвірки або тріади по двійковій системі, а потім кожну з комбінацій (тріад або четвірок) замінити відповідною цифрою у підсумковій системі.

Приклад. Перевести число 7153 з вісімкової системи числення в десяткову.

7153 = 7*83+1*82+5*81+3*80 = 3691

Отже, (7153)8 = (3691)10

Приклад. Перевести число A8E5 з шістнадцяткової системи числення в десяткову.

A8E5 = A10*163+810*162+E10*16+ 510*16= 10*16+ 8*16+ 14*16+ 5*1=43237.

Отже, (A8E5)16 = (43237)10.

 

Переклад двійкового числа в вісімкове:

  1. Двійкове число розбивають на групи по три елементи (тріади), починаючи з молодшого значущого розряду.
  2. Замість відсутніх дописують нулі.
  3. Замість тріад записують відповідні числа від нуля до 7.

Приклад: 010  010  001  0102 = 22128

 

Переклад двійкового числа в шістнадцяткове:

  1. Двійкове число розбивають на групи по чотири елементи (тетради), починаючи з молодшого значущого розряду.
  2. Замість відсутніх дописують нулі.
  3. Замість тетрад записують відповідні числа від нуля до 9 і букви.

Приклад: 0100  1000  10102 = 48А16

 

 

Арифметичні операції з вісімковими   кодами

Додавання і віднімання вісімкових чисел здійснюється точно також, як і в десятковій системі. Переповнення вважається в тому випадку, коли в розряді сума 8 і більше, в цьому випадку відбувається перенесення в старший розряд.

Додавання в вісімковій системі Множення в вісімковій системі

Виконуючи множення багатозначних чисел в різних позиційних системах числення , можна використовувати звичайний алгоритм перемноження чисел в стовпчик , але при цьому результати перемноження і складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідних розглянутій системі таблиць множення і додавання .

 

 Аріфметічні операції з шістнадцятковіми кодами

Додавання в шістнадцятковій системі

Додавання і віднімання двійкових чисел здійснюється точно також , як і в десятковій системі . Переповнення вважається в тому випадку , коли в розряді сума 16 і більше , в цьому випадку відбувається перенесення в старший розряд.

Виконуючи множення багатозначних чисел в різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм перемноження чисел в стовпчик, але при цьому результати перемноження і складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідних розглянутій системі таблиць множення і додавання.

 


Додаткові матеріали:

       1 СРС 5. Правила перекладу змішаних вісімкових  та шістнадцяткових чисел

Контрольні питання:

  1. Що собою представляє 8-а С.Ч.?
  2. Що собою представляє 16-ва С.Ч.?
  3. Як можна перекласти 10-ве число у 8-ве?
  4. Як можна перекласти 10-ве число у 16-ве?
  5. Як можна перекласти 8-ве число у 10-ве?
  6. Як можна перекласти 16-ве число у 10-ве?
  7. Як можна перекласти 2-ве число у 8-ве?
  8. Як можна перекласти 2-ве число у 16-ве?
  9. Як виконується складання в 16-ій с.о.?
  10. Як виконується віднімання в 16-ій с.о.?
  11. Як виконується множення в 16-ій с.о.?
  12. Як виконується ділення в 16-ій с.о.?
  13. Як виконується складання у 8-ій с.о.?
  14. Як виконується віднімання у 8-ій с.о.?
  15. Як виконується множення у 8-ій с.о.?
  16. Як виконується поділ у 8-ій с.о.?

  1. Література:
  2. 1 Максимов Н.В., Партыка Т.Л., Попов И.И. Архитектура ЭВМ и вычислительных систем: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 512 с.
  3. 2 Мельник А.О. Архітектура комп’ютера . Наукове видання. – Луцьк: Волинська обласна друкарня, 2008. – 470 с.
  4. 3 В. Гуров, В. Чуканов. Видеокурс: Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ -Открытый Интернет Университет Информационных технологий, http://www.intuit.ru/‎